相量法简介

纯电阻电路上加直流电压，有

$$ R=\dfrac{U}{I} $$

而线性电路上加正弦激励和上面的情况会有类似之处。这也是为什么该电路会叫作线性电路，而R、L、C会叫作线性元件（理想电容是线性电容）。

理想电路上的电阻和储能元件电容电感

$$ \dot{Z}(\omega)=\dfrac{\dot U(\omega)}{\dot I(\omega)} $$

电容C的元件特性

$$ q=Cu $$

VCR

$$ i=C\dfrac{du}{dt} $$

电感L的元件特性

$$ \varPsi=Li=N\varPhi $$

VCR（电磁感应定律$u=d\varPsi/dt$）

$$ u=L\dfrac{di}{dt} $$

一阶电路RL或RC，二阶电路RLC（并联的RLC会被叫作GLC），都不是简单的。

能够发现当线性元件加上正弦激励后，可以由VCR得到响应，于是当激励为

$$ u_S(\omega)=U_m\cos(\omega t+\phi_u)=1/2U_m(e^{j(wt+\phi_u)}+e^{-j(\omega t+\phi_u)}) $$

时，由KVL，设$i=I_m\cos(\omega t+\phi_i)$

$$ RI_m\cos(\omega t+\phi_i)+ \dfrac{1}{j\omega C}I_m\cos(\omega t+\phi_i)+j\omega LI_m\cos(\omega t+\phi_i)=U_m\cos(\omega t+\phi_u) $$

可以想象出当两边都化成指数形式时能得到相量法表示的正弦量

$$ RI_me^{j\phi_i}+\dfrac{1}{j\omega C}I_me^{j\phi_i}+j\omega LI_me^{j\phi_i}=U_me^{j\phi_u} $$

相量表示，就是将正弦量转换为用振幅和相位表示

$$ \dot U(\omega)=U_m\angle\phi_u=U_me^{j\phi_u}=U_m(\cos\phi_u+j\sin\phi_u) $$

于是可以得到线性元件VCR的相量形式

$$ \dot U_R=R\dot I_R\qquad \dot U_L=j\omega L\dot I_L(\phi_u=\phi_i+90\degree)\qquad \dot U_C=\dfrac{1}{j\omega C}\dot I_C=-j\dfrac{1}{\omega C}\dot I_C(\phi_u=\phi_i-90\degree) $$

能看出电感超前90，电容滞后90。

交流阻抗

$$ Z(\omega)=\dfrac{\dot U(\omega)}{\dot I(\omega)}=\dfrac{U}{I}\angle(\phi_u-\phi_i)=R+jX $$

交流阻抗是理解正弦稳态电路的重点。在电路分析中大多数情况下相量的频率相同而相位不同，因此对相量的计算要遵循复数的计算规律。

正弦稳态电路分析

为什么引入相量表示法之后，阻抗中自然地引入了复数单位j呢？

可以看得出不同元件对同一激励的响应不同，不仅体现在振幅也体现在相位。而阻抗的复数部分就是元件响应中体现在相位的部分。如果阻抗没有复数部分，那么响应的相位是不会改变的。也可以用于理解为何电感超前电容滞后。

有了交流阻抗这一工具，分析正弦稳态电路就可以使用和纯电阻电路一样的方法，比分析线性电路的响应还简单。

交流阻抗测试（EIS）

用于确定界面性质之类，因为对称电池可认为没有电势差，因此得到的Z''-Z'图（Nyquist谱）或Bode谱可以对应一个复杂的等效电路。

这个等效电路上的不同元件，就是不同界面、不同结构上会有的性质的体现。最新最全的电化学阻抗谱（EIS） - 知乎

不同电路对应的结构会不同，这可以通过计算与绘图证明。

通常的Nyquist图中使用(-Z'')-Z'，其中Z=Z'+jZ''。单位是Ohm即$\Omega$。

在某交流频率下，若电池表现偏向感性，则会无限向下；若偏向容性，则无限向上。示意图是Z''-Z'图因此方向相反了。（即RL或RC串联）

通常在低频下感性能够体现，而高频时容性能够体现，由于频率会导致放热，因此表示阻性的Z'坐标，与频率w正相关。

因此左侧低频右侧高频，Nyquist图在左侧向负无穷，而在右侧向正无穷。

当电池表现为并联RL、RC、RLC时，Nyquist图体现为半圆或圆。

此时圆心位置表示全局除该部分外的串联电抗、电阻，而圆的半径表示该部分的电阻，若能发现圆弧的缺损就是电容或电感，但是几乎不现实。

通常的Nyquist图中使用(-Z'')-Z'，其中Z=Z'+jZ''。单位是Ohm即$\Omega$。

在某交流频率下，若电池表现偏向感性，则会无限向下；若偏向容性，则无限向上。示意图是Z''-Z'图因此方向相反了。（即RL或RC串联）

通常在低频下感性能够体现，而高频时容性能够体现，由于频率会导致放热，因此表示阻性的Z'坐标，与频率w正相关。

因此左侧低频右侧高频，Nyquist图在左侧向负无穷，而在右侧向正无穷。

当电池表现为并联RL、RC、RLC时，Nyquist图体现为半圆或圆。

此时圆心位置表示全局除该部分外的串联电抗、电阻，而圆的半径表示该部分的电阻，若能发现圆弧的缺损就是电容或电感，但是几乎不现实。