如何在数轴上线性插值？

对于x1点和x2点，其响应值（函数值、因变量或者什么值都可以）为y1和y2。 于是对于数轴上[x1,x2]上的点，可以表示为$x=x_1+k(x_2-x_1)=(1-k)x_1+kx_2$，由于系数恒正且和为1，可令$x=\dfrac{\alpha x_1+\beta x_2}{\alpha+\beta}$，于是可推导得$y=\dfrac{\alpha y_1+\beta y_2}{\alpha+\beta}$。 为探究α和β的几何意义，移项得$\alpha(x_1-x)+\beta(x_2-x)=0$，

1. 当$\alpha:\beta=1:1$时x为线段中点；

2. 当$\alpha:\beta=1:2$时，$x_1+2/3(x_2-x_1)=x$，为靠近x2的三等分点；

3. 当$\alpha:\beta$时，$x_1+\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}(x_2-x_1)=x$，为某个等分点。β是从x1开始计算的等分点，α是从x2开始计算的等分点。

4. 也可以认为有$\alpha|x-x_1|=\beta|x-x_2|$，成反比例。

   如何在平面上线性插值？

   这个问题是有实际意义的问题，用于从三角形三顶点在光栅上的位置和深度，求某位置的深度。

   $$ z=\dfrac{\alpha z_1+\beta z_2+\gamma z_3}{\alpha+\beta+\gamma} $$

   $A=A_1+p(A_2-A_1)+q(A_3-A_1)=(1-p-q)A_1+pA_2+qA_3$，也是大于0且和为1，令$A=\dfrac{\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3}{\alpha+\beta+\gamma}$。 若z与A满足线性关系$z=aA_x+bA_y+c$，可推出$z=\dfrac{\alpha z_1+\beta z_2+\gamma z_3}{\alpha+\beta+\gamma}$。 α、β、γ最好是理解成$\alpha\vec{AA_1}+\beta\vec{AA_2}+\gamma\vec{AA_3}=0$（大概？）。 这是zbuffer技术在triangle mesh运用的基础。