为什么习惯于探究学习资料中一步步推导的细节？是因为学习的目的在验证已有的学习方法的正确性，以及尝试学习作者的智慧而非知识本身，但是这偏离了实际应该有的目的。

学习新知识就是为了获取新知识，实际上是要替代落后的、过去的思想和方法，越古越强的存在认为是不普遍的。

作者的智慧以知识为载体，用知识和例子削除学习者思维中顽固而错误的部分，并补齐正确的部分。

面对缺失的部分，人应该想到的是读者和作者思想深度上的巨大差距，这不是旧能力堆时间就能赶上的，而应该想着从答案学习新能力。

下面的内容，只有$\delta$的分解，与$G$的表示两个部分，像是比较好的扩展。

同坐标系的对偶基

首先，度量张量的分量满足下面的：

$$ \begin{align} g_{ij}=g_i\cdot g_j\\ g^{ij}=g^i\cdot g^j \end{align} $$

那么度量张量就是$[g_{ij}]$：

$$ \begin{align} [g_{ij}][g^{ij}]=[1] \\ g_{ik}g^{kj}=\delta_i^j \end{align} $$

同一坐标中的对偶基之间：

$$ \begin{align} g_i\cdot g^j=\delta_i^j \\ g^i=g^{ij}g_j \end{align} $$

第一部分是由第三部分推导出的，第三部分是定义。其实是对指标表示法的运用，两边点乘一个基矢量即可。

下面是重点内容，和常用的分母1、数乘1的分解一样，叫做$\delta$的分解。

分解$\delta$证明第二部分：

$$ \delta_i^j=g_i\cdot g^j=(g_{ik}g^k)\cdot g^j=(g_{ik}g^{jk}) $$

加括号是为了表示它是多项式，三维坐标有三项。这种表示方法可以用在突然卡住的时候。

坐标转换

两坐标系分别表示成$[x^i]=(x^1,x^2,x^3)$与$[x^{i'}]=(x^{1'},x^{2'},x^{3'})$，定义一坐标系的基矢量对另一坐标系基矢量分解有：

$$ \begin{align} g_{i'}=\beta_{i'}^jg_j \\ g^{i'}=\beta_j^{i'}g^j \end{align} $$

分别是协变转换与逆变转换。$\beta$为转换系数。定义了坐标的新老，就定义了转换系数的协变逆变。

然后也是同理得到：

$$ \begin{align} \beta_{i'}^j&=g_{i'}\cdot g^j \\ \delta_i^j&=g_i\cdot g^j=(\beta_i^{k'}g_{k'})\cdot(\beta_{l'}^jg^{l'})=(\beta_i^{k'}\beta_{l'}^j\delta_{l'}^{k'})=\beta_i^{k'}\beta_{k'}^j \end{align} $$

度量张量的分量与转换系数

由矢径函数导矢的性质，可以知道基矢量定义为矢径对坐标的导矢。坐标只有三个，因此指标在上或在下无关，或者说坐标的指标是另一类。在每个坐标点上的协变基与逆变基都会不同。

$$ \begin{align} g_i:=\dfrac{\partial r}{\partial x^i} \\ g^i=\nabla x^i \end{align} $$

因此可以计算度量张量的分量。这时函数的参考坐标是笛卡尔系。

由链式法则，

$$ \begin{align} g_{i'}=\dfrac{\partial r}{\partial x^{i'}}=\dfrac{\partial r}{\partial x^j}\dfrac{\partial x^j}{\partial x^{i'}}=\dfrac{\partial x^j}{\partial x^{i'}}g_j=\beta_{i'}^jg_j \end{align} $$

因此协变基的转换系数$\beta_{i'}^j=\dfrac{\partial x^j}{\partial x^{i'}}$。

逆变基可以利用笛卡尔系建立起$g^{i'}=\nabla x^{i'}=\dfrac{\partial x^{i'}}{\partial x^j}\nabla x^j=\beta_j^{i'}g^j$，暂时没有想到其他方法。

用转换系数也可以求度量张量的分量。

$$ g_{i'j'}=g_{i'}\cdot g_{j'}=\beta_{i'}^k\beta_{j'}^lg_{kl} $$

用笛卡尔系作为老坐标系时，有$g_{kl}=\delta_{kl}$，因此$g_{i'j'}=\beta_{i'}^k\beta_{j'}^k$。其实能够发现求导矢就是求了Jacobian矩阵，因此度量张量是Jacobian矩阵的积。

并矢

下面用$\delta$的分解得到一个结论，但是由于要让$k$与$k'$有关而需要换符号：

$$ \hat{g}^{i}=\hat{g}^{j}\delta_{j}^{i}=\hat{g}^{j}(g^{i}\cdot g_{j}) $$

用并矢的概念将上面的内容简单的符号化。并矢只有在笛卡尔系中具有矩阵形式，但是二阶张量始终可以具有矩阵形式。

$$ \hat{g}^{i}=(\hat{g}^jg_j)\cdot g^i=g^i\cdot(g_j\hat{g}^j) $$

是一个并矢式。并矢$(\hat{g}^jg_j)$可以看成是一个转换算符，作用是从系$[x^i]$转到$[\hat{x}^i]$，这个算符实际上在三维坐标中有三项，并且能作用于任意基矢量，因此能作用于定点处的矢量，当然定点在转换前后的位置要发生变化。

因为有矩阵的形式存在，因此定义转置$(ab)^T=(ba)$。

缩并、并矢点积、并乘与并基

用它的矩阵形式可以很好理解记忆，在非笛卡尔系中，似乎可以通过让参与并矢的矢量分别按协变基与逆变基分解，因此具有了与笛卡尔系中相同的形式即线性。

但是其实这么做是不必要的。已经和外积分形式类似的，定义了用并基表示的并矢的形式。用二阶并基表示的二阶并矢为：

$$ T=AB=(A_ia_i)(B_jb_j)=T^{ij}a_ib_j $$

自由指标$i$与$j$的取值可以比较大，此时还能表示成矩阵乘法的形式，二阶张量用矩阵方式描述，作为使用张量的重点。

张量与表示法

已经知道矢量可以表示为$v=v^ig_i=\beta_{k'}^iv^{k'}\beta_i^{l'}g_{l'}=\delta_{k'}^{l'}v^{k'}g_{l'}=v^{k'}g_{k'}$，前文的张量使用了并基，因此会有：

$$ T=T^{ij}g_ig_j=T^i_{\cdot j}g_ig^j=\cdots $$

也可以验证张量的分量满足指标升降关系：

$$ \begin{align} T&=T^i_{\cdot j}g_ig^j=T^i_{\cdot j}(g_ig^{jk}g_k)=g^{jk}T^i_{\cdot j}g_ig_k=T^{ik}g_ig_k\\ T^{ij}&=g^{js}T^i_{\cdot s}=g^{ir}T^{\cdot j}_r=g^{ir}g^{js}T_{rs}\\ T^{ijk}&=g^{ir}g^{js}g^{kt}T_{rst} \end{align} $$

不同坐标系之间转换也有：

$$ \begin{align} T^{i'j'}&=\beta_{r}^{i'}\beta^{j'}_{s}T^{rs} \\ T&=T^{i'j'}g_{i'}g_{j'}=T^{rs}g_rg_s \end{align} $$

上面已经出现了分量表示法与实体表示法了，但是实际上是指整个连等式。分量表示法往往出现在要转换的时候，不管是指标升降还是坐标转换。实体表示法就和$r=xi+yj+zk$一样，只是由于使用了哑指标，将原本可能很高维的式子缩成一项，再连等。

下面尝试从分量表示法$T^{ij}=g^{ir}g^{js}T_{rs}$推出实体表示法$T^{ij}g_ig_j=T_{ij}g^ig^j$：

$$ T^{ij}g_ig_j=T_{rs}g^{ir}g^{js}g_ig_j=T_{rs}g^rg^s $$

切换哑指标不改变等于关系，毕竟ij与rs取值都在一个范围中。

实体表示法的$T$，与分量表示法的一组分量$(T^{ij},T^i_{\cdot j},T^{\cdot j}i,T{ij})$，都是张量。因为哑指标和导矢的特性，有$T^{ij}g_ig_j=T^{ji}g_jg_i\neq T^{ij}g_jg_i$。

我们发现张量可以用不同基矢量表示，不管是一对对偶基矢量，还是不同坐标的矢量，这就是张量的坐标不变性。

——————————————【停止施工】——————————————

度量张量的分量$g^{ij}=g^i\cdot g^j$对应的并基是$g_ig_j$，因为有$\mathbf{G}=(\mathbf{g}^i\cdot \mathbf{g}^j)\mathbf{g}_i\mathbf{g}_j$，然后可以推导出度量张量的混变分量是Kronecker δ。

$$ G=g_i^{\cdot j}g^ig_j=\delta_i^jg^ig_j $$

对于坐标变换，$G=\beta^{i'}i\beta^{j'}j\beta^i{k'}\beta^j{l'}(g^{i'}\cdot g^{j'})g_{i'}g_{j'}$，左边部分可以根据前面的结论直接得到Kronecker δ。

$$ G=g^ig^jg_ig_j=g^{i'}g^{j'}g_{i'}g_{j'} $$

证明真不行了。以及张量的运算规则就硬记比较好。

可以不利用并矢的性质，事实上并矢偏向物理使用，常见教材使用外积表示。由v与w张成的量有：

$$ V\otimes W=V_iW_jv_i\otimes w_j $$