被省略掉的步骤通常很难想，因为好难查，但是AI弥补了这一点。

又多出一个新的标记，新坐标$x^i$，老坐标$x^{k'}$，而新老坐标之间满足有函数$x^i(x^{k'})$与$x^{k'}(x^i)$，局部单值可逆连续光滑，即两个Jacobian行列式都不为恒0，感性认识就是体积微元/面积微元不会在换坐标之后退化，理性认识不知道。

下面说明为什么对新坐标求梯度，即垂直于新坐标等值面的矢量，会是该坐标协变基矢量的逆变基矢量。

▶ 对新坐标$x^j$求梯度，有如果是在老坐标上的梯度表示：

$$ \begin{align} \nabla x^j&=\dfrac{\partial x^j}{\partial x^{1'}}i+\dfrac{\partial x^j}{\partial x^{2'}}j+\dfrac{\partial x^j}{\partial x^{3'}}k \\ g_i\cdot\nabla x^j&=\dfrac{\partial x^{k'}}{\partial x^i}\dfrac{\partial x^j}{\partial x^{k'}} \end{align} $$

为了证明$g_i\cdot\nabla x^j=\delta^j_i$，可以利用下面的知识：

$$ \dfrac{\partial x^{k'}}{\partial x^{l'}}=\dfrac{\partial x^{k'}}{\partial x^i}\dfrac{\partial x^i}{\partial x^{l'}}=\delta^{k'}_{l'} $$

因此$g_i\cdot\nabla x^j=\delta^j_i$，于是$g^j=\nabla x^j$。

如果用在新协变坐标上的梯度表示：

$$ \begin{align} \nabla x^j=\dfrac{\partial x^j}{\partial x^k}g_k=\delta^j_kg_k \\ g_i\cdot\nabla x^j=\delta^j_kg_k\cdot g_i=\delta^j_i \end{align} $$

也能得到。