灵光【5】

问题1

首先简单描述一下指标，哑指标（爱因斯坦求和约定）和自由指标。

$$ P_i=P\cdot g_i=P^kg_k\cdot g_i=P^kg_{ki}\qquad(i=1,2,3) $$

以及

$$ g^i=g^{ij}g_j\qquad(i,j=1,2,3) $$

还有

$$ \delta^j_i=g_i\cdot g^j=g_{ik}g^k\cdot g^j=g_{ik}g^{kj}\qquad(i,j=1,2,3) $$

在上面三个式子里，所有的k都是哑指标，表示求和。因此式1、式3中每个等式右侧有三项。

而式3中的i、j是自由指标，因此总共是9个式子，分别对应矩阵$[g_{ij}][g^{ij}]$中每一元的值。

因此证明了两矩阵互为逆矩阵。

式2中i为自由指标，j为哑指标。

可以看出，两边都有的指标是自由指标，而只有一边有的指标是哑指标。

然后再描述一下一下概念。

矢量，基矢量，矢量的分量。由于有两套基矢量：协变基矢量与逆变基矢量，因此矢量可以分别用两套基表示，有两套分量。

$$ P=P^\alpha g_\alpha $$

$P^\alpha$称作矢量P的逆变分量，而$g_\alpha$是协变基矢量。

之所以将P用协变基表示得到的是逆变分量，是因为由对偶关系

$$ g_\alpha\cdot g^\beta=\delta^\beta_\alpha $$

可以证明$P^\alpha=P\cdot g^\alpha$。

而将一条基矢量用另一套基矢量表示时，分量称为度量张量的分量。$g_{ij}$为度量张量的协变分量，而$g^{ij}$为度量张量的逆变分量。

矢量的分量间能通过度量张量有关，称为指标升降关系

$$ P^i=P\cdot g^i=P_kg^k\cdot g^i=P_kg^{ki} $$

如果掌握了指标的使用，那么应该能够看出斜角直线坐标系和正交曲线坐标系的一些相似之处和区别了。