线性微分方程的基本解组很难通过一般方法求解。虽然朗斯基行列式很像能用来求解基本解组，但是：

1. 如果使用W=0用于求解齐次线性微分方程时，其表示的方程组和原微分方程并没有什么关系。

2. 朗斯基行列式在这里只用来辅助证明一些结论，以及在已知齐次方程基本解组时求非齐次方程的通解。

$$ x''+x=1/\cos t $$

解齐次方程，可以用常系数解法或者初等解法，得到$\cos t,\sin t$。

$$ x=c_1(t)\cos t+c_2(t)\sin t $$ $$ x'=-c_1(t)\sin t+c_2(t)\cos t\qquad c'_1(t)\cos t+c_2'(t)\sin t=0 $$ $$ x''=-c_1(t)\cos t-c_2(t)\sin t+c'_1(t)(-\sin t)+c'_2(t)\cos t\qquad L(x)\equiv c'_1(t)(-\sin t)+c'_2(t)\cos t=1/\cos t $$

解右侧两个式子组成的方程组得到：

$$ c_1(t)=-\ln|\cos t|+\gamma_1\qquad c_2(t)=t+\gamma_2 $$

常系数齐次微分方程

它使用了完全不同于上面提到的方法。

要学习使用$L(x)\equiv$的写法，通常建议括号内符号和右侧多项式符号相同。

$$ L(x)\equiv x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\cdots+a_nx=0 $$

设解具有$x=e^{\lambda t}$，代入得到特征多项式/特征方程F：

$$ L(e^{\lambda t})\equiv e^{\lambda t}(\lambda^n+\cdots+a_n\lambda)\equiv e^{\lambda t}F(\lambda)=0 $$

特征方程的根称为特征值，可以证明当所有根都是单根时其对应的n个$x=e^{\lambda t}$共同组成方程的一个基本解组。

出现重根时，则另加一个因式$x=t^{k-1}e^{\lambda t}$以凑出足够大的解组。

单根线性无关利用朗斯基行列式和范德蒙德（Vandermonde）行列式证明；重根情况在下面证明。先给出在初等数论中提到的一些结论：

1. 方程有k重根，即其k阶导多项式才非0。

2. 方程因式分解有因子$(\lambda-\lambda_0)^k$，$F(\lambda)\equiv (\lambda-\lambda_0)^k(\cdots)$

k重零根能还原出微分方程：

$$ L(x)\equiv x^{(n)}+\cdots+a_{n-k}x^{(k)}=0 $$

观察可知能取出$x=1,t,t^2,\cdots,t^{k-1}$作为k个线性无关的解，参与基本解组构成。

非零根令$x=ye^{\lambda t}$，$\lambda\neq0$，则：（由《高数上》求导规律）

$$ x^{(m)}=y^{(m)}e^{\lambda t}+\cdots+y\lambda^me^{\lambda t} $$

代入L可得：

$$ L(e^{\lambda t})\equiv e^{\lambda t}(y^{(m)}+b_1y^{(m-1)}+\cdots+b_ny)\equiv e^{\lambda t}L_1(y) $$

解原方程转换为求L1的解组。特征方程$G(\mu)\equiv\mu^n+b_1\mu^{n-1}+\cdots+b_n\mu=0$

$$ F(\mu+\lambda)e^{(\mu+\lambda)t}=L(e^{(\mu+\lambda)t})=L_1(e^{\mu t})e^{\lambda t}=G(\mu)e^{(\mu+\lambda)t} $$

能得知G有k重零根，于是$y=1,t,\cdots,t^{k-1}$，$x=e^{\lambda t},te^{\lambda t},\cdots,t^{k-1}e^{\lambda t}$。

可以用树的形状来记忆。

关于复根

先了解两个命题：

1. 方程右侧是实函数时，复根对应的解是复函数；复根一定共轭存在，它的实部和虚部都是基本解。

2. 方程右侧是虚函数时，复根的实部是实部非齐次方程的解，虚部是虚部非齐次方程的解。

于是出现复根时用$x=e^{\alpha t}\cos\beta t,e^{\alpha t}\sin\beta t$代替$x=e^{\lambda t}$。

上面的内容组成了常系数齐次线性微分方程的基本解组。

关于非齐次

不使用常数变易法而使用比较系数法。只要得到一个特解即可。

$f(t)=A_m(t)e^{\lambda t}$，$P_m$指m次多项式。其特解$\widetilde{x}=t^kP_m(t)e^{\lambda t}$。

解时设出$P_m$未知系数，解出左边后与右边系数比较以确定系数。

$f(t)=(A_m(t)\cos\beta t+B_m(t)\sin\beta t)e^{\alpha t}$，其特解$\widetilde{x}=t^k(P_m(t)\cos\beta t+Q_m(t)\sin\beta t)e^{\alpha t}$。

也是一样设未知数。

其他类型的非齐次没有很好的解法，通常用傅里叶展开或者泰勒展开求近似解。