从朗斯基行列式开始

n阶齐次线性微分方程：

$$ x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_n(t)x=0 $$

通解：

$$ x=c_1x_1+\cdots+c_nx_n $$

朗斯基（Wronsky）行列式，具有形式：

$$ W(x_1,\cdots,x_n)=\begin{vmatrix} x_1 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x^{(n-1)}_1 & \cdots & x_n^{(n-1)} \end{vmatrix} $$

一个n阶齐次线性微分方程一定存在n个线性无关解。这n个线性无关解可以作为它通解的一个基本解组（解函数空间的一组基）。

n阶齐次线性微分方程一个基本解组满足$W\neq 0$。

通解两边求n-1阶导数，包括通解一共n个式子，共同组成非齐次线性代数方程组，此时W就是系数矩阵的行列式，于是可以知道初值问题一定有唯一解。

非齐次线性微分方程

对通解使用常数变易。

$$ x=c_1(t)x_1+\cdots+c_n(t)x_n $$

通过右边的条件，使得左边的等式呈现规律。

$$ x^{(k)}=c_1(t)x_1^{(k)}+\cdots+c_n(t)x_n^{(k)}\qquad c_1'(t)x_1^{(k-1)}+\cdots+c_n'(t)x_n^{(k-1)}=0 $$

最后一次求导没有条件式。

$$ x^{(n)}=c_1(t)x_1^{(n)}+\cdots+c_n(t)x_n^{(n)}+c_1'(t)x_1^{(n-1)}+\cdots+c_n'(t)x_n^{(n-1)} $$

代回到n阶非其次线性微分方程得：

$$ c_1(t)(x_1^{(n)}+\cdots+a_nx_1)+\cdots c_n(t)(x_n^{(n)}+\cdots+a_nx_n^{(n)})+c_1'(t)x_1^{(n-1)}+\cdots+c_n'(t)x_n^{(n-1)}=f(t) $$

前n个多项式明显是齐次线性微分方程，将解代入的形式，其值0。

$$ c_1'(t)x_1^{(n-1)}+\cdots+c_n'(t)x_n^{(n-1)}=f(t) $$

将图片中的等式组成方程组，是非齐次的，且其系数矩阵行列式为朗斯基行列式W，所以必能解出$c_k'(t)$。

$$ c_k(t)=\int c_k'(t)\,dt+\gamma_k\qquad x(t,\gamma_1,\cdots,\gamma_n)=c_1(t)x_1+\cdots c_n(t)x_n $$