用相对独立的多个方式来看待卷积

一维离散卷积：

$$ f*g(x)=\sum_{\xi=-\infin}^\infin f(\xi)g(x-\xi) $$

一维连续卷积：

$$ f*g(x)=\int_{-\infin}^\infin f(\xi)g(x-\xi)\,d\xi $$

高维连续卷积：

$$ f*g(\vec{v})=\int f(\vec\varepsilon)g(\vec{v}-\vec\varepsilon)\,d\vec\varepsilon $$

可以转换成单位直角坐标系：

$$ f*g(v_1,\cdots,v_n)=\int_{-\infin}^\infin d\varepsilon_n\cdots\int_{-\infin}^\infin d\varepsilon_2\int_{-\infin}^\infin f(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)g(v_1-\varepsilon_1,\cdots,v_n-\varepsilon_n)\,d\varepsilon_1 $$

二维离散卷积：

$$ f*g(x,y)=\sum_{d_y=-\infin}^\infin\sum_{d_x=-\infin}^\infin f(d_x,d_y)g(x-d_x,y-d_y) $$

当g(x,y)仅在局部非0时，如${-1,1}\times{-2,2}$：

$$ f*g(x,y)=\sum_{d_y=-2}^2\sum_{d_x=-1}^1 f(x+d_x,y+d_y)g(-d_x,-d_y) $$

可以看出有矩阵相乘的形式，此时g中不含xy是常量，称为卷积核。矩阵乘法的另一个因子是f(x,y)附近的数据构成的矩阵。

信号处理

理解一维卷积的良好方式。卷积变量设为时间$t/\tau$。时间仅取非负值。

输入信号f(t)，信号随时间衰减倍率g(t)，输出信号则为f*g(t)。

输出信号是此前所有输入信号衰减后的值的合成时，能用离散或连续的一维卷积公式。

离当前时间越远的信号，其位于信号衰减函数的位置就越远，于是可以用下面方法形象表示：

对齐、翻转、滑动。

卷

用二维向量映射到$U(x,y)=f(x)g(y)$，则得到一二维数量场，使用二维数量场的通常用的直观方法理解。

数量场曲线积分：

$$ \int_Lf(x)g(y)\,dl $$

很简单能得到它和卷积的关系：在曲线$L:y=\xi-x$上的无限曲线积分

$$ \sqrt{2}\int_Rf(x)g(\xi-x)\,dx $$

忽略掉常数项即为卷积$f*g(\xi)$。

$\xi$的意义是在y轴上截距，也是直线族L的参数，也可以用来表示垂直于L的一参数方程直线的参数。在第三种意义时，卷积$f*g(\xi)$相当于将平面以L的方式卷起得到的直线上的弧长参数方程。

图像处理

这是二维卷积的常见工作，直观表现形式是将二维卷积核在二维图像上滑动，在对应位置得到处理后的输出信号。

简单的旋转、翻转等图像处理工作也可以认为是使用了卷积核，但是该核具有图像大小，没有进行滑动。

图像处理经验丰富的人通常可以根据追求的视效来自定义卷积核。

卷积定理

傅里叶变换算子$\mathcal{F}$与函数的傅里叶变换不同，求得的是表像函数。

$$ f(x)=\int_R\mathcal{F}[f](k)e^{ikx}\,dk,F[f](k)=\int_Rf(x)e^{-ikx}\,dx $$

将时间轴x的函数变换到频率轴k上，相当于换基底。

已知输出信号和衰减函数，可以通过卷积定理利用频域的便利性质求得输入信号。

$$ \mathcal{F}[f]=\mathcal{F}[f*g]/\mathcal{F}[g] $$