傅里叶分析另一角度

（这个角度是从原来的其他线性组合问题和线性代数里的一些概念联想到的，经过查找资料发现确实可以这么干）

空间和基

向量空间在线性代数里已经学了，这里主要考虑的是函数空间，并且是作为一个没有明确定义的抽象概念来谈，即能够合理进行后续操作的所以函数都属于该空间。

从空间中选取一部分函数作为基。在傅里叶级数展开中，基为：

$$ 1,\cos(\omega t),\sin(\omega t),\cos(2\omega t),\sin(2\omega t),\cdots,\cos(n\omega t),\sin(n\omega t) $$

离散基且个数无限。

把函数空间内任意函数记作f，基记作$\lvert k\rangle$，根据上下文不同可能指一组基中的一个或者所有基。

内积和正交归一基

其实要利用空间和基的概念需要在空间上定义内积，由三角函数积分正交性，可以定义一个好用的内积：

$$ \langle f\mid g\rangle=\int_Tf(x)g(x)dx $$

这里使用积分区间T代表是在周期函数的某个周期上积分。不在左边函数名上加未知数的原因是没有必要。

此时基之间的内积满足：

$$ \langle k_m\mid k_n\rangle=T/2\cdot\delta_{m,n} $$

这能说明基的正交性。$\delta$是克罗内克$\delta$函数。（离散冲激函数）

并且可以用内积定义范数/模长。对于基有：

$$ \lVert k\rVert^2=\int_Tk(x)k(x)dx=T/2,\lVert1\rVert^2=T $$

k和1共同代表前面的基，很明显基是正交不归一基。

将基除以它们的模得到正交归一基：

$$ 1/\sqrt{T},\cos(wx)/\sqrt{T/2},\sin{(wx)}/\sqrt{T/2},\cdots,\cos(nwx)/\sqrt{T/2},\sin{(nwx)}/\sqrt{T/2} $$

其中$T\omega=2\pi$。

通常使用的表达式会定义$l=T/2,w=\pi/l$，并且最后得到的基$\lvert k_n\rangle$分成$\lvert C_n\rangle,\lvert S_n\rangle$两部分。

正交归一基的内积：

$$ \langle k_m\mid k_n\rangle=1 $$

使用基和内积表示空间内任意函数

不严谨。

$$ f=\sum_{n=0}^nc_n\lvert k_n\rangle=\sum_{n=0}^n\langle k_n\mid f\rangle\lvert k_n\rangle $$

这是因为可以证明当$\lvert k\rangle$是单位正交基时，空间内任意函数f可用：1）基与f的内积；2）基函数；的线性组合表示。

上面将基分为两块的原因是：奇函数展开只需要正弦基$\lvert S_n\rangle$，偶函数只需要余弦基$\lvert C_n\rangle$。

表象

这个概念是用基线性组合描述函数时，由于不同基对应的线性组合不同，而用于与空间中实际函数区分的概念。

在基确定时，我们可用有序内积集合表示这个函数，就称为在基下的表象。

更换基底会更换表象但不会让函数本身变化。

（本来可能有用但是缩小了范围之后就用不上了）

连续基

连续基与离散基不同，其中一个重要表现是用连续基的线性组合表示空间函数时的表达式：

（不考虑高维因为脑抽用了n作为下标，并且k、f都是x的函数所以就不写了，记住该函数空间是从定义域$x\in\mathbb{R}$映射来的函数组成）

$$ f=\int_{\mathbb{R}}c\lvert k\rangle\,dx=\int_{\mathbb{R}}\langle k\mid f\rangle\lvert k\rangle\,dx $$

连续基的正交归一要求其内积为狄拉克$\delta$函数。

（又发现脑抽用k代表了基）

傅里叶级数展开的指数形式，当函数的周期无穷大时，$\omega\rightarrow 0$，则$k\omega$可以作为连续积分变量，式子成为积分的定义式。

$$ f(t)=\int_Rc_ke^{ikx}\,dx $$

于是这里的连续基为$\lvert k\rangle=e^{ikx}$。

狄拉克$\delta$函数其实是一个函数级数在$n\rightarrow+\infin$时的取值，其特点是处处极限不存在，但无穷积分为1、不包含零点的任意区间积分为0。

通常有简写形式但是要注意转换。

最重要性质是：

$$ \int_Rf(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0) $$

证明连续基的正交性：

$$ n\rightarrow+\infin,\int_{-n}^ne^{ikx}\,dx=1/ik\cdot e^{ikx}\rvert^n_{-n}=2\sin(nk)/k=2n\mathrm{sinc}(nk) $$

（kn和nk又乱了）

由于$\delta_n(x)=n/\pi\cdot\mathrm{sinc(nx)}$，可知：

$$ \int_{-n}^ne^{ikx}\,dx=2\pi\delta_n(k),\int_Re^{ikx}\,dx=2\pi\delta(k) $$

右边的是通常的简记法，但是使用时一定要还原回极限形式。

定义同样的内积可知：

$$ \int_Re^{ik'x}\cdot e^{ikx}\,dx=\int_Re^{i(k-k')x}\,dx=2\pi\delta(k-k') $$

（其实在复数上定义的内积是复共轭计算，但是没看所以将就下）

（去看了下其实通常涉及复数定义内积都是取其中一方的共轭复数的，所以请注意在指数形式内积中使用复共轭）

证明了正交性，归一可除以模长$\sqrt{2\pi}$。

这样傅里叶分析都具有了线性问题的形式

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