傅里叶分析

傅里叶分析分为傅里叶级数和傅里叶变换，这是最容易被理解的说法。

傅里叶级数

$$ f(t)=a_0/2+\sum_{k=1}^\infin(a_k\cos(kwt)+b_k\sin(kwt)) $$

与

$$ f(t)=\sum_{k=-\infin}^\infin F(k)e^{i(kwt)} $$

分别是傅里叶级数产开的三角形式和指数形式。

$$ a_k=2/T\int_T f(t)\cos(kwt)\,dt $$ $$ b_k=2/T\int_T f(t)\sin(kwt)\,dt $$ $$ F(k)=c_k=(a_k-ib_k)/2=1/T\int_Tf(t)e^{-i(kwt)}\,dt $$

三角形式推导

利用了频率为基频$\omega$整数倍的三角函数集合的正交性。

任意函数、除同频函数外任意两函数之积在长度为基频对应周期$T$的积分区间上积分结果为0。

于是通过两边同乘$\cos(kwt)$或$\sin(kwt)$再做积分$\int_T$可求参数a、b。

指数形式推导

$$ \cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2\qquad\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2i\qquad 1/i=-i $$ $$ f(t)=a_0/2+\sum((a_k-ib_k)/2\cdot e^{i(kwt)}+(a_k+ib_k)/2\cdot e^{-i(kwt)})![FT3.jpg][1] $$

$a_k$是关于k的偶函数，$b_k$是关于k的奇函数，令$F(k)=(a_k-ib_k)/2$，得到指数形式。

傅里叶变换

$$ \mathcal{F[f]}(k)=\int_R f(t)e^{-i(kt)}\,dt $$

公式写成这个形式便于人将$\mathcal{F}f$与傅里叶级数中的$F(k)$并列考虑。非周期函数相当于周期无穷大。

（其实这里的$F(k)$可以写成$Ff$。通常由于傅里叶变换使用时与时间无关所以用t作积分变量不是特别好）

于是你可以看出傅里叶变换与傅里叶级数的参数项是类似的。

对周期函数傅里叶展开，相当于使用离散基线性合成函数，求其系数数列；对一函数傅里叶变换，相当于使用连续基线性合成函数，求其系数函数。

傅里叶变换和傅里叶级数不应该用同一种直观方法，否则：

但是还是可以理解到“傅里叶级数将连续周期函数拆解为离散基、傅里叶变换将任意函数拆解为连续基”的说法。

但是应该注意到，傅里叶变换的基并非正交。

（只想要学习某个概念时通过论坛快很多）

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 - 知乎

傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导 - 知乎

指数形式的傅里叶级数推导过程_fourier级数指数形式的推导-CSDN博客