一些一阶微分方程的初等解法

（跳过，感觉也记不住解法，会判断类型就行）

一阶微分方程的解

（Picard（皮卡）逐步逼近法）

（用$F_p$而非$F_p'$表示偏微分，仅是个人习惯）

从2到5是存在唯一性定理1。

存在唯一性定理2是对于任意一阶微分方程f(x,y,y')=0在初值条件$y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'0$的解，当在初值条件点邻域连续且存在连续偏导数时，$F{y'}(x_0,y_0,y'_0)\neq0$能推出解y=y(x)存在唯一。

1. 初值问题：$y_0=\varphi(x_0)$为初值条件，解微分方程时得到的解称为初值问题的解。

2. Lipschitz（利普希茨）条件：导数已解出的一阶微分方程，f(x,y)在矩形域R上连续。

3. 矩形域：R:|x-x0|<=a,|y-y0|<=b。初值条件代表的点位于矩形域正中心。

4. Lipschitz常数：在矩形域内的任意两点(x,y1)(x,y2)能满足|f(x,y1)-f(x,y2)|<=L|y1-y2|，通过求$|\partial f/\partial y|$的最大值可以取出L。

5. 解的存在区间：$D:|x-x0|<=h,h=\min(a,b/M),M=\max(f(x,y)),(x,y)\in R$。

6. n级近似解：通常取$\varphi_0(x)=0,\varphi_n(x)=y0+\int_{x_0}^xf(\xi,\varphi_{n+1}(\xi)),d\xi$。

7. 级数${\varphi_n(x)}$收敛于真实解$\varphi(x)$。注意这里的解是初值问题的解。

8. 误差：$ML^nh^{n+1}/(n+1)!$。

9. 解的延拓：可以取解的存在区间边界上的点，如果能满足Lipschitz条件，就可以解出初值问题在相邻区间上的解，和原区间上的解共同组成分段函数作为微分方程的解。解的延拓满足一阶连续可微。

10. 包络和奇解：包络是微分几何概念，要求存在一曲线，其每个点都与曲线族$\varPhi$的一条曲线相切。当曲线族是微分方程通解时，包络代表的解就是微分方程的奇解。

11. c-判别曲线：可以证明如果奇解存在，那么一定满足$\varPhi(x,y,c)=0,\varPhi_c(x,y,c)=0$。该方程组的解为c-判别曲线，要进一步判断是否为奇解。

12. p-判别曲线：按初等解法的习惯令p=y'，由存在唯一性定理2解方程组$F(x,y,p)=0,F_p(x,y,p)=0$得到p-判别曲线也包含奇解。

还有一些其他内容。

1. Clairaut（克莱罗）微分方程y=xp+f(p)的通解是y=xc+f(c)。

2. 微分方程数值解的求解是从初值条件开始的，原理利用了新位置$x_n$的数值解$y_n$与旧位置$x_{n-1}=x_n-h$的数值解$y_{n-1}$之间满足的近似关系。h作为步长。很多初值问题的数值解都是利用这种方式求得，且还运用了浮动步长法来控制存在区间内的数值解精度都在预设值附近。

3. Schauder（绍德尔）不动点方法对于研究微分方程及其解的图形更常用。（但是没有找到资料）