定义沿向量的方向导数

定理定义：向量场沿射线l方向的方向导数、对矢径弧长微元的全导数、沿曲线C方向的方向导数，沿曲线方向导数数值上等于沿曲线切向射线上的方向导数

方向导数定义的逻辑是先考虑某点处（n阶导数是映射$\mathbb{R}^6\rightarrow\mathbb{R}$，方向导数看作定长向量减少一维）。

再考虑某方向（这里的方向$l\in\mathbb{R}^3$，因为后面的内容中方向向量模长会影响方向导数值）。

方向l上前进邻域半径ρ（$\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$，也可以认为说是对单位向量$l^o$的方向导数$\left.\dfrac{\partial u}{\partial l^o}\right|_{M_0}$）。

取极限得到方向导数，由于ρ是邻域半径，Δx/ρ相当于在该点处曲线的方向余弦（$\left.\dfrac{\partial u}{\partial l}\right|_{M_0}=u_x\cos\alpha+u_y\cos\beta+u_z\cos\gamma$）。

结论1：数量场u（在射线上）的方向导数，就是在同向单位矢量上的导数

要求数量场中在一有向曲线上点M，沿正向切线的方向导数（曲线即矢性函数的矢径r，是映射$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$）。

曲线的参数不一定是弧长参数，于是切向量可能不是单位向量（对于极小弧长也有$\Delta s=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}\qquad\left|\dfrac{dr}{ds}\right|=1$）。

由于弧长参数与非弧长参数之间满足关系式，可以得到沿任意切向量的方向导数与单位切向量方向导数的关系（l=|l|l^o=\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{ds}{dt}\dfrac{dr}{ds}\qquad\left.\dfrac{\partial u}{\partial l}\right|{M_0}=u_x\dfrac{dx}{ds}\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{ds}{dt}\left.\dfrac{\partial u}{\partial l^o}\right|{M_0}）。

结论2：方向导数大小与向量模长成正比

结论3：将曲线用弧长微元表示的方法：$ds=\left|\dfrac{dr}{dt}\right|dt$