质点动力学的一道习题2.15
质点动力学的一道习题2.15
题目来自大学物理（少学时），高等教育出版社，第65页。
题目
在光滑水平桌面上，平放一个固定的半圆形屏障，质量为$m$的滑块以初速$v_0$沿切线方向进入屏障内，如题图2.15所示，设滑块与屏障间的摩擦因数为$\mu$，求证：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所做的功为：
$$ A=\frac{1}{2}mv_0^2(e^{-2\pi\mu}-1) $$ ![题图2.15.jpg][1] ## 故事以滑块运动方向为正方向。
开始以为有重力作用，满足：
$$ ma_\tau=P\sin\theta+F_f=m\frac{\text{d}v}{\text{d}r}=m\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=mv\frac{\text{d}v}{\text{d}x} \\ \ \\ ma_n=P\cos\theta+N=m\frac{v^2}{r} \\ \ \\ \text{d}A=F_f\,\text{d}x=F_fr\,\text{d}\theta \\ $$然后做不了一点，拿$\theta$没有办法。
$$ \frac{\text{d}v}{P\sin\theta-\frac{\mu}{r}v^2+\mu P\cos\theta}=\text{d}t \\ \ \\ \frac{v\ \text{d}v}{P\sin\theta-\frac{\mu}{r}v^2+\mu P\cos\theta}=\text{d}x $$一看题干发现
……，平放一个固定的半圆形屏障，……
没重力了……
$$ \begin{cases} F_f=ma_\tau=m\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=m\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=-\mu N \\ \\ N=ma_n=m\frac{v^2}{r} \end{cases} \\ \ \\ \begin{align*} F_f=-\mu m\frac{v^2}{r}=mv\frac{\text{d}v}{\text{d}x} & \Rightarrow & -\mu m\frac{v^2}{r}\ \text{d}x=mv\ \text{d}v \\ & \Rightarrow & -\frac{\mu}{r}\ \text{d}x=\frac{\text{d}v}{v} \\ & \Rightarrow & \int_0^x-\frac{\mu}{r}\ \text{d}x=\int_{v_0}^v\frac{\text{d}v}{v} \\ & \Rightarrow & v=v_0e^{-\frac{\mu}{r}x} \end{align*} $$于是可以写出$F_f(x)$，可以进行积分$\int_0^{\pi r}F_f\ \text{d}x$。
$$ A=\int_0^{\pi r}-\mu m\frac{v^2}{r}\ \text{d}x=\frac{1}{2}mv_0^2(e^{-2\pi\mu}-1) $$如果不使用$F_f=m\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$而使用$m\frac{\text{d}v}{\text{d}t}$，则得到：
$$ v(t)=\frac{v_0r}{\mu v_0t+r} $$用不了一点。
总结
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认真审题，细心答卷。
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把“从屏障另一端滑出”翻译为从状态$(t=0,v=v_0,x=0)$到$(t=?,v=?,x=\pi r)$，立刻可知不要先尝试对$t$和$v$积分。
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tamatamatama